#’빛의 세기’에 관한 정의는 종류가 다양해서 헷갈립니다.따라서 Introductory Astronomy and Astrophysics(Zeilik, 1998) 교재를 참고하여 빛의 세기와 관련된 물리량에 대한 각각의 차이를 살펴보도록 하겠습니다.들어가기 전에 입체각의 정의에 대해 알아야 합니다.천문학에서 입체각이란 천구상에 보이는 면적을 말합니다.어떤 천체가 아무리 거대하고 실제 면적이 넓다 하더라도 거리가 멀리 있다면 천구상에서 보이는 면적은 작고, 어떤 천체가 아주 작더라도 거리가 가까우면 천구상에서 보이는 면적은 크겠죠.
두 영역의 실제 면적은 다르지만 보이는 면적은 같다.
그림에서 Δa는 실제 면적을, ΔΩ는 일종의 보이는 면적(입체각)을 의미합니다.이 때, 이하와 같은 관계식이 성립합니다.
여기서 단위를 이해하는 것이 중요한데, Δa(실제 면적)의 단위는 m²(평방미터)이고 r(천체까지의 거리)의 단위는 m(미터)입니다.따라서 ΔΩ는 원래 단위가 없어지는 것입니다. (dimensionless) 그러나 이 물리량이 입체각임을 나타내기 위해 스테라디안(steradian, Sr)이라는 단위를 일부러 만들어 붙입니다.단위가 없는 물리량인 각도(평면각)를 나타낼 때 뒤에 라디안(radian)을 붙이는 것과 비슷합니다.간혹 입체각의 단위를 rad², arcsec²와 같이 평면각의 제곱으로 표현할 수 있습니다.입체각과 평면각 사이에는 제곱의 관계가 있는데, 왜 그럴까요?
평면각은 위의 식과 같이 표현할 수 있음을 알 수 있습니다.여기서 양변을 제곱해 주면 다음과 같은 결과가 나온다는 것을 알 수 있습니다.
따라서 입체각의 단위를 평면각의 제곱으로 표현해도 문제가 없는 것입니다.평면각은 모두 더하면 2π가 된다는 것을 알 수 있습니다.입체각은 다 더하면 얼마인가요?그러기 위해서는 천구의 입체각을 생각해 보세요.텐구의 전체 면적은 다음과 같이 표현됩니다.
따라서 전체 입체각은 4π입니다.
다른 방법으로는 적분을 이용하여 구할 수도 있습니다.
https://math.stackexchange.com/questions/131735/surface-element-in-spherical-coordinates
미적분학에서 구면 좌표계의 내용을 되돌아보면 구의 미소 면적은 다음과 같습니다.
따라서 이를 적분하여 전체 입체각을 구하면 다음과 같습니다.자, 그러면 가장 쉬운 개념인 luminosity부터 살펴보겠습니다.Luminosity란 단순히 단위 시간당 방출되는 에너지의 양입니다.따라서 단위는 erg/s가 됩니다. (참고로, erg는 일의 단위의 하나로, cgs 단위계입니다.)게다가 한 천체에서 단위 시간당 방출되는 특정 파장의 에너지 양은 luminosity를 d로로 나누어 구할 수 있습니다.혹은 특정 진동수에 대해 살펴보면 다음과 같이 dje로 나누어 구합니다.따라서 다음과 같은 관계식을 생각할 수도 있을 것입니다.한편, 특정 진동수로 보려고 할 때, 왜 luminosity로 dc일률을 나누는지 이해하지 못하는 분들이 있을 것입니다.이 부분은 포스트 맨 아래 부분에서 좀 더 자세히 다루도록 하겠습니다.하지만 luminosity는 관찰을 통해 직접 얻을 수 있는 값이 아닙니다.별들은 사방으로 에너지(전자파)를 내뿜고 있지만 이 중 지구에 도달하는 에너지는 일부에 불과하기 때문입니다.따라서 flux라는 개념을 자연스럽게 생각할 수 있을 것입니다.flux란 단위 시간당 단위 면적당 에너지의 양입니다.따라서 flux의 단위는 erg/s·cm²입니다.좌 : luminosity / 우 : flux위와 같은 그림으로 생각하면 더 쉬워요.Luminosity란 남색구로 표시된 영역 전체에서 별이 방출하는 에너지가 얼마인지 나타내는 값이고, flux란 남색 사각형으로 표시된 단위 면적에 들어가는 에너지가 얼마인지 나타내는 값입니다.아까 관측을 통해서 얻을 수 있는 값은 flux라고 했는데 지구에서 측정할 때는 지구로 들어오는 방향의 전자파만 관측할 수 있기 때문입니다.따라서 luminosity와 flux 사이에 다음과 같은 관계식이 성립됩니다.(r:해당 광원까지의 거리) 이번에도 특정 진동수나 특정 파장에서의 flux를 생각할 수 있습니다.그 기호와 단위는 다음과 같습니다.참고로 특정 진동수의 flux는 특히 fluxdensity라고 명명되어 있습니다.반면 보통 관측을 통해 얻을 수 있는 flux 값은 매우 작은 값이기 때문에 편의를 위해 Jansky(Jy)라는 단위가 더 일반적으로 사용되는 편이라고 합니다.충분히 멀리 떨어져 있는 천체는 천구상에 점으로 보이겠지만, 근처에 있는 천체는 넓게 퍼져 있는 것처럼 보일 것입니다.가까이 있는 그러니까 점이 아니라 조각(patch) 모양의 은하를 하나 가정해 보겠습니다.이 경우에는 flux 값을 말하는 것이 조금 애매해집니다.은하의 어느 부분을 보느냐에 따라 flux의 값이 달라질 수 있기 때문입니다.따라서 surface brightness(줄여서 SB)라는 물리량이 필요합니다.Surface brightness는 단위시간당 단위면적당 단위입체각당 에너지량으로 정의됩니다.”단위 시간당 단위 면적당 에너지”를 flux라고 정의했기 때문에 간단히 말해서 SB는 단위 입체 각당 flux입니다.왼쪽:flux/오른쪽:SB사실 우리에게서 멀리 떨어진 천체는 점으로 보일 것이기 때문에 왼쪽 그림처럼 아주 작게 표시해 주었습니다.이렇게천구상에점으로표시된천체와달리오른쪽그림처럼천구상에patch형으로표시된천체는이부분의flux는얼마이고이부분은얼마이고…등을말할수있습니다.그리고 ‘이 부분’이라는 개념을 입체각을 사용하여 정량화했다고 보시면 됩니다.그런데 관측에서 에너지는 항상 관측 장비에 수직으로 들어오는 것은 아닙니다.일정 정도 각도에서 입사하는 전자파는 그 세기가 일정 정도 감소한 상태로 들어옵니다.위 그림은 빛의 입사각에 따라 영역을 통과하는 빛의 양이 달라지는 것을 보여줍니다.실제 관측에서는 이렇게 입사각이 존재하는데, 이로 인해 빛의 양이 줄어든다는 사실을 반영하기 위해 intensity라는 개념이 필요합니다.결론적으로 intensity는 SB에서 입사각을 추가로 고려하는 물리량으로 다음과 같이 정의됩니다.그리고 이전과 마찬가지로 특정 진동수에서의 intensity도 정의할 수 있습니다.이렇게 특정 진동수의 intensity는 정말 많이 쓰이는 개념으로 specific intensity라는 이름이 붙여져 있습니다.간단히 생각하면 SB는 입사각이 0인 경우의 intensity라고 할 수 있습니다.이 intensity를 이용하여 공간 내부의 에너지 밀도를 구할 수 있습니다.다음과 같이 에너지가 입사하는 상황을 가정해 봅시다.먼저 Intensity의 정의에 따르면 다음이 성립합니다.또한 그림에도 나타나 있듯이 미소부피에 관한 다음 관계식이 성립합니다.따라서 아래의 일련의 프로세스를 통해 에너지 밀도를 얻을 수 있습니다.지금까지 luminosity, flux, surface brightness, intensity 개념을 살펴보았는데요.이것을 정리하면 다음과 같습니다.(SB와 intensity는 단위는 같지만 개념은 약간 다르다)이번의 포스팅을 통해서 luminosity, flux, SB, intensity에 관한 일반적인 정의를 소개한 것입니다만, 교재에 의해서 또는 연구 분야에 의해서 이러한 개념을 혼용하거나 다른 정의를 내리고 사용할 수도 있습니다.그러므로, 학점을 자세히 조사하는 등 이들 개념을 혼동하지 않도록 주의할 필요가 있습니다(SB와 intensity를 같다는 lecture note도 구글에서 본 적이 있습니다).아까”특정 진동수의 “luminosity를 청할 때, luminosity를 진동 수로 나눈다고 했는데 이제는 그 이유를 살펴봅니다.양자 역학에 따르면 실제로 단파장의 빛은 존재할 수 없습니다.우리가 말하는 단파장의 빛은 실은 그 파장의 빛이 가장 강하다는 의미이며 그것보다 조금 짧은 파장의 빛과 더 긴 파장의 빛이 항상 섞이는 수밖에 없습니다.그러므로 특정 진동수(₀₀)luminosity(혹은 flux등)을 요구하려면 ₀ 와와 ₀++d사이 사이의 빛의 luminosity를 조사합니다.출처 : 위키백과위의 그림과 같은 플랑크 곡선(혹은 흑체 복사 곡선)을 보신 적이 있을 것입니다.이 그래프의 x축은 파장이라는 걸 거의 다 아시겠지만 y축을 자세히 못 보신 분들이 많을 거예요.y축의 단위를 자세히 살펴보면 ‘특정 파장에서의 intensity’임을 알 수 있습니다.그래서 ₀₀와 ᅵ+d 아₀ 사이의 파장을 가진 빛의 intensity로 plot한 그래프입니다.위와 같은 흑체 복사곡선이 주어졌다면 청색 직사각형의 높이가 ‘특정 파장에서의 intensity’가 되는 것입니다.그리고 이것을 전체 파장 영역에서 적분한 것, 즉 붉은 곡선의 면적이 intensity가 되는 것입니다.이런 이유로 ‘특정 파장에서의 luminosity’나 ‘특정 진동수에서의 luminosity’를 구할 때 luminosity에서 dᅡᄂᄅ나 dᅩに로 나누는 거죠.(사실 어떻게 보면 당연한 얘기이긴 하죠.）)