11장에서는 편도함수는 배우는데 편도함수는 정말 중요하기 때문에 반드시 개념을 제대로 숙지해야 한다.
일단 다변수 함수의 개념에 대해 구분을 할 수 있어야 한다.
다변수함수는
- 각 변수가 독립 변수로만 구성된 것
- 2. 변수간의 음함수 (종속변수)로 표현할 수 있는 것
- 이렇게 둘로 나눌 수 있다.
- 만약 여러 변수가 모두 관련되어 있다면, 각 변수 별로 케이스를 나누어야 한다.
- 함수의 그래프 개형을 그리는 방법은 레벨 커버(등고선 f=k)가 있다.
- 특히 3변수 함수는 3차원에 함수 값을 대응시키는 방법을 사용해 표현할 수 있다.
- 이 변수 함수의 극한은 원판(모든 방향)으로 정의할 수 있으며, 연속은 닫힌 구간을 포함하면 된다.
- 편미분 개념은 변수 하나를 정수로 생각하는 개념으로부터 시작된다.
- 또, 편미분의 개념을 확장시키면, 클레로의 정리를 증명할 수 있다.
- 접평면의 방정식은 F=f(x)-z=0에서 구할 수 있다. 이것은 선형 근사와 같다.
- 전미분의 개념을 보통 미분으로 연결시킬 수도 있고 편미분은 수형도로 이해하면 쉽다.
- 음함수의 미분은 y=f(x) 또는 z=f(x)로서 편미분에 의해 구할 수 있다.
- 여기서 x, y가 독립변수라면, dy/dx=0 으로 한다.
- 11.5절의 연습문제에 있어서, 편미분값의 보통 미분을 구성변수의 합성함수 미분으로 이해하고 구할 수 있다.
- 이 개념은 매우 중요하며, 각 상황에서의 편미분이 성립하는 경우를 구분해야 한다.
- (x, y가 독립변수라면 서로 관계가 없고 dy/dx=0이므로, f(x)의 보통 미분은 편미분과 같다.
- 방위도 함수는 벡터인 그래디언트와 방위 벡터의 내적으로 표현하며 스칼라 값을 갖는다.
- 3차원 좌표에서 사영을 내려 극한을 잡는 개념을 이해하면 유도를 쉽게 할 수 있다.
- 여기서 방향 벡터는 단위 벡터임에 주의하자.
- 방향도 함수의 정의로부터 방향도 함수의 최대치를 추출할 수 있다.
- f(x)-z=0을 확장시켜, 3변수 함수의 접평면을 구할 수 있다.
- 이계 편도함수 판정은 2차 다항식의 판별식을 확장시킨 개념으로 이해할 수 있다.
마지막으로 라그랑주 컵스에 대해서 배우는데
등고선 f(x)=k와 g(x)=p의 3차원 접선은 무수히 많지만, 법선은 유일하며, 서로 평행하다.
라는 개념으로 critical point를 선택하여 비교를 통해 최대, 최소를 찾을 수 있다.
두 평면에서 교선의 최대, 최소치 개념은 직관적으로 이해하기 힘든 부분이지만
f,g의 교선 c:f에서 점 p의 그래디언트 f, g, h는 교선 c로 수직이다.
따라서, c:r(t)인 곡선의 접선 벡터 r'(p)가 법선인 평면상에 존재한다고 생각할 수 있다.
세벡터가 공면이기 때문에, 두 개의 벡터 g, h를 기저 벡터로서 선형 결합하고 나머지 f로 표현할 수 있다.
이후편미방에서가장중요한개념을포함한부분이니반드시완벽하게이해하고넘어가자.
11.5장의 증명 문제에서 심화 개념을 적용할 수 있다.